⬒ 三角换元解题思想总结 ⬒

关于三角披肩的制作方法

Row 1: 4 锁针, 在最后一个锁针里钩: 1长针, 2锁针, 1长针, 2锁针, 1长针 最后钩1针长长针

Row 2: 3锁针, 在第一行的2长针内钩9个长长针, 在上一行的长针上钩1个长长针,在上一行的2长针内钩9个长长针, 在最后的锁针里钩1长长针，翻面.

Row , 2 锁针,在上一行的长长针里钩一个钩1个贝壳针, 2锁针, 1 长针 + 2锁针 + 1长针 + 2锁针 + 1长针, 2 锁针, 在第五个长长针上钩1个贝壳针, 2锁针, 钩1贝壳针， 最后在第三个锁针上钩1长长针。翻面

Row 4: 3锁针, 在上一行2锁针的位置钩9长长针,在贝壳针里接着钩贝壳针, 在上一行2锁针的位置钩9长长针, 在长长针的位置钩1长长针, 9个长长针, 在贝壳针里接着钩贝壳针, 9长长针, 在锁针处钩1长长针,翻面.

Row 5:

跟着下面的`步骤钩:

1. 3锁针, 在上一行长长针的中间那针上钩贝壳针.

2. 2锁针, 在第五针上钩1贝壳针, 2锁针, 在贝壳针里钩贝壳针; 重复*.

3. 2锁针, 在上一行第五针长长针上钩1长长针, 2锁针, 在上一行最中间的长长针上钩1 长针 + 2锁针 + 1长针 + 2锁针 + 1长针.

4. 同第二步

5. 2锁针, 在上一行第五个长长针处钩1贝壳针, 2锁针, 贝壳针，在第三个锁针上钩1长长针

Row 6:

跟着下面的步骤钩:

1. 3锁针, 9 长长针, 贝壳针.

2. * 9 长长针, 贝壳针; 重复*.

3. 9长长针, 在上一行的中间的长长针上钩1长长针, 9 长长针, 贝壳针.

4.同第二步

⬒ 三角换元解题思想总结 ⬒

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

倒数关系: tanα ・cotα=1 sinα ・cscα=1 cosα ・secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)

(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ) 证明：(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ)

正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边

正弦 sin2A=2sinA・cosA 余弦 s2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) s2a=1-2Sin^2(a) s2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))

sin3α=4sinα・sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα・cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a ・ tan(π/3+a)・ tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sina) =4sina[(√3/2)-sina] =4sina(sin60°-sina) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosa[cosa-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n). 其中R=2^(n-1) 证明：当sin(na)=0时,sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin【(n-1)π/n】 这说明sin(na)=0与{sina-sin(π/n)｝*{sina-sin(2π/n)｝*{sina-sin(3π/n)｝*……*{sina- sin【(n-1)π/n】=0是同解方程. 所以sin(na)与{sina-sin(π/n)｝*{sina-sin(2π/n)｝*{sina-sin(3π/n)｝*……*{sina- sin【(n-1)π/n】成正比. 而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ),所以 {sina-sin(π/n)｝*{sina-sin(2π/n)｝*{sina-sin(3π/n)｝*……*{sina- sin【(n-1π/n】 与sina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn). 然后考虑sin(2n a)的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn= 2^(n-1)

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二： 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上k∈Z) A・sin(ωt+θ)+ B・sin(ωt+φ) = √{(A +B +2ABcos(θ-φ)} ・ sin{ ωt + arcsin[ (A・sinθ+B・sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))] cosα=[1-(tan(α/2))]/[1+(tan(α/2))] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))]

(1) (sinα)+(cosα)=1 (2)1+(tanα)=(secα) (3)1+(cotα)=(cscα) 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα),第二个除(cosα)即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)+(cosB)+(cosC)=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)+(sinB)+(sinC)=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

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第4节 反三角函数（2课时）

第1课时

[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。

另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。

[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道

其中cosasinxbcosxa2b2sinx，aab22,sinbab22，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。

[教学过程]：

师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？

答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数ysinx在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：

ysinx,x,，这个函数是单调函数，因而有反函数。

22师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x,y）（这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得xarcsiny，互换得yarcsinx，其中x1,1,y,，这就是要求的反正弦函数。

221． 反正弦函数的图象

反正弦函数yarcsinx，x1,1与函数ysinx,x个函数图象关于直线yx对称。2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）

因此两,互为反函数，22，1，值域为①定义域为1,； 22，1上单调递增； ②yarcsinx在定义域1xarcsinx ③yarcsinx是奇函数，即对任意x1,1，有arcsin3． 反正弦函数的恒等式

①由“一一对应”的性质知：对任意值x1,1，在,上都有唯一对应的角22arcsinx，使得它的正弦值为x，即得恒等式sinarcsinxx,x1,1；

②由“一一对应”的性质知：对任意角x在1，1上都有唯一对应的值sinx，,，22,。22sinxx,x使得它的反正弦值为x，即得恒等式arcsin例题选编：

[例1]：求下列反三角函数值：（1）arcsin31 ；（2）arcsin0（3）arcsin 22解：利用恒等式1来理解题意（1）： 记arcsin33sinx3sinx，也就是在,上找xsinarcsin22222一个角x，使得sinx3；（2）（3）类似。2说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。[例2]：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x ：（1）sinx3,x,，5221,x,，422（2）sinx（3）sinx3,x0, 3解：利用恒等式2来理解题意：

sinx（1）33sinxarcsin3，arcsin而x,，故有xarcsin；

555223sinxarcsin3，而xarcsin,，故不能直接利用恒3322（3）sinx等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到,上，此时涉及讨论： 22若x0,33，则 arcsinsinxarcsinxarcsin332若x,，则x0,，故有 223sinxarcsin3xarcsin3 arcsin333sinxarcsinarcsin即xarcsin3。3[例3]：化简下列各式：

（1）arcsinsin（2）arcsinsin95sin3.49 （3）arcsin6解：此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。（1），，由恒等式2得arcsinsin； 9229955转化了； arcsinsin，这里将6666（2）arcsinsinsin3.49arcsinsin0.49 sin30.49arcsin（3）arcsinsin0.490.49。arcsin[例4]：判断下列各式是否成立：（1）arcsin3312k,kZ ；（2）arcsin；（3）arcsin22332（4）arcsinarcsin；（5）sinarcsin22

3322（6）sinarcsin1010 解：（1）对；（2）错；（3）当k0时对；（4）错，[例5]：写出下列函数的定义域和值域：

（1）y2arcsinx；（2）yarcsinxx 解：（1）

31,1；（5）错；（6）对。

2x1,1x0,1，由反正弦函数的单调性知y0,（2）xx1,1x21515,，22这是典型的复合函数求值域问题，由ux2x1,1和反正弦函数的单调性可知： 41yarcsin,

42[例6]：求下列函数的反函数：（1）ysin2x,x, 443, 22（2）y2sinx,x（3）y21arcsinx 2sin2x2x，解：（1）反解得arcsinyarcsin（恒等式2的运用，注意区间）

互换x,y即得反函数为y1arcsinx 2sinxarcsinsinxx，互换x,y即得反函（2）反解得arcsinarcsin数为yarcsin。（3）

作业：P99 练习1、2、3

[课题总结]： [试题选编]： y2x2

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金字塔有着神秘力量，也蕴含着人生。把金字塔看成平面图的话便是一个等腰三角形。人都是沿着东边的斜面向上，到该向下的时候便沿着西边的斜面向下，回到生命的地平线。东西两边的腰长把人生分成不同的两个部分。

向上的人生追求和生存有关的东西，向下的人生追求和生命有关的东西，同出而异母。

每个人有着不同的生活，却有着相同的人生。都有属于自己的最高点，只是起点的角度大小不同罢了。钻石和水哪个贵？不同的人答案也不同，不一样的环境感受就不一样。有些东西别人说了不算，自己感受最重要。活在不同的物质世界终归走向相同的精神世界，同伴着一个太阳升起，随着一个太阳落下，同在一片蓝天下，因此没有什么值得忌妒和羡慕的，也就没什么值得骄傲和自满的了，有虚就有盈，盈至极点就会转虚。夜空的月亮如此，八卦图也是这个道理。

东边的那段人生有些人已经走过，有些人正在走过。已经走过的那些人很幸运也很值得学习敬佩，在人生的斜坡上爬到了最高点，爬过了最高点；正在走过的我们也是幸运的，因为可以踏着前人的足迹前行，变得更加容易。走好这前半段人生路不算什么，能把从最高点的向下的一段走好才是真英雄。站在最高点并不意味着辉煌，处于低谷时也不要悲伤，人生总有一段潮起一段潮落。没有人是顺着地平线走的，都会有一段曲折的人生。

向上的人生身体和精力都趋于顶点，也是人生的完美期，是最值得留恋的，所以在这一段人生里最珍贵千万不要有丝毫的放松；向下的人生身体和精力逐渐衰落，这个阶段是我们宜养天年的时候，可以完全的放松。这又和前段的人生紧密相连。没有经历过的事物我们无法体味，就如等着我们的下一段人生一样，充满着幻想。

如金字塔的神秘一样，每个人心灵深处都埋藏着一股巨大的力量。在三角形的人生里发挥出来吧。

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一、教学内容

本节主要内容为：经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算。

二、教学目标

1、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义。

2、能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算。

3、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小。

三、过程与方法

通过进行有关推理，探索30°、45°、60°角的三角函数值。在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．

四、教学重点和难点

重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算

难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值

五、教学准备

教师准备

预先准备教材、教参以及多媒体课件

学生准备

教材、同步练习册、作业本、草稿纸、作图工具等

六、教学步骤

教学流程设计

教师指导学生活动

1.新章节开场白. 1.进入学习状态.

2.进行教学. 2.配合学习.

3.总结和指导学生练习. 3记录相关内容,完成练习.

教学过程设计

1、从学生原有的认知结构提出问题

2、师生共同研究形成概念

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3、随堂练习

4、小结

5、作业

板书设计

1、叙述三角函数的意义

2、30°、45°、60°角的三角函数值

3、例题

七、课后反思

本节课基本上能够突出重点、弱化难点，在时间上也能掌控得比较合理，学生也比较积极投入学习中，但是学生好像并不是掌握得很好，在今后的教学中应该再加强关于这方面的学习。

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一、教材分析

1、教材的地位与作用:《同角三角函数的基本关系》是学习三角函数定义后安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，起承上启下的作用，同时，它体现的数学思想方法在整个中学学习中起重要作用。

2、教学目标的确定及依据

A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：

1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；

2）证明简单的三角恒等式。

B、过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

3、教学重点和难点

重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

难点：同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。

二、学情分析：

学生刚开始接触三角函数的内容，学习了任意角的三角函数，对这一方面的内容既感到新鲜又感到陌生，很有好奇心，跃跃欲试，学习热情高涨。

三、教法分析与学法分析：

1、教法分析：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。

２、学法分析：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。

四、教学过程设计

例1、设计意图：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。本题主要利用的数学解题思想是：分类讨论

例2、设计意图：

（1）分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以 ,将分子、分母转化为 的代数式；还可以利用商数关系解决。

（2）“化1法”，可利用平方关系 ，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为 的分式求值；

五、教学反思：

如此设计教学过程，既复习了上一节的内容，又充分利用旧知识带出新知识，让学生明白到数学的知识是相互联系的，所以每一节内容都应该把它牢固掌握；在公式的推导中，教师是用创设问题的形式引导学生去发现关系式，多让学生动手去计算，体现了&qut;教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展&qut;的教学思想。通过两种不同的例题的对比，让学生能够明白到关系式中的开方，是需要考虑正负号，而正负号是与角的象限有关，角的象限题目可以直接给出来，但有时是需要已知条件来推出角可能所在的象限，通过分析，把本节课的教学难点解决了。

由于课堂在完成例题及变式时要给予学生充分的时间思考与尝试，故对学生的检测只能安排在课后的作业中，作业可以检测学生对本节课内容掌握的情况，能否灵活运用知识进行合理的迁移，可以发现学生在解题中存在的问题，下节课教师再根据学生完成的情况加以评讲，并设计相应的训练题，使学生的认识再上一个台阶。

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文 / 杨喜庆
那年逛花市，看到一盆花满枝头的三角梅，很是显眼。我驻足观看，粉红色三片叶子中间吐着花蕊，一簇簇挤满在花枝上，耀目热烈。虽有些招摇，但不娇羞，仔细观看，倒有一些阳刚，不失君子风范，我很喜欢。和老板讲价，老板和三角梅一样不肯屈服，后来我屈服了，按价付款，把花抱回家。
回到家里，我又仔细欣赏了好久，越看越觉得喜欢，直到妻子喊我吃饭，我还有些恋恋不舍。
吃罢午饭，为了防止三角梅不适应环境，我小心翼翼地把三角梅放在北屋，避免阳光照射，晚上临睡前，我还特意看看它。
第二天起来，我径直来到北屋想看看这盆花，然而，让我没想到的是，满枝头的花落了一半，遍地都是。我惊呼，如临大敌。赶紧把妻子喊起来，似乎想在妻子身上找出些原因。我做了无用功，妻子告诉我，快去问问卖花的老板吧。我穿好衣服，急急火火地想下楼。妻子喊住我说，你看看这才几点啊？无奈，早饭没有吃好，所有的心思都在这盆三角梅上。
三角梅，又名叶子花，喜阳耐热，适于在通风良好阳光充足的地方生长。而我却恰恰违背了它的生长规律，造成不必要的麻烦。我赶紧把它从北屋挪到南屋的阳台上，尽量让它多晒些阳光，以保住那些还没来得及掉下来的花朵。看到地上那些花朵，很是心疼。再看看花枝上，已不再是那么丰满了，心里一阵惆怅。由于自己的过失，造成了不必要的损失，总觉得有些过意不去。好在这盆花剩余的部分，一直开了好几个月才凋谢，心里才平衡些。
花谢后，花枝上开始长出叶子，叶子很绿，虽没有花朵耀眼，倒也平添了一份凉意，在炎炎夏日，客厅里增加了一些绿色，心里少了些浮躁，多了一份平静。
我精心侍弄着这盆花，浇水施肥，松土剪枝，偶尔也跟着我喝点啤酒，以求它再次开出更多的花，也算是对自己过失的一种补偿吧。可是，令我失望的是，这盆花好像并不领情。从花谢了以后，除了长叶落叶，再长叶再落叶，丝毫看不出有再开花的意思。
我使用了很多办法，譬如“育肥”疗法，譬如“饥饿”疗法，可最终均以失败告终。无奈，我不再管它，似乎连看都不愿意看它一眼。偶尔浇水，想起来施肥，看见哪个不顺眼的枝子，拿起剪刀毫不留情地剪下，毫不吝惜地扔掉，三角梅在我的心里已经失去了往日的吸引力。
这样的日子过了很长时间，看着落叶后光秃秃的树枝，我跟妻子说，太难看了，干脆扔了吧。妻子不同意，说了些儒家加哲学的道理。我不以为然，始终认为，开花的东西嘛，就应该以开花为己任，一旦不再开花，即失去了存在的必要。我有些冷酷，也可以说近乎于残酷，还是想趁妻子不在家把它扔掉。
就在我下定决心准备把这盆三角梅扔掉的时候，我惊奇地发现，在花枝的顶上拱出了很多花蕾，正不声不响地生长着，我一阵窃喜。又仔细看看，在所有的花枝上均现了花蕾。看着那些花蕾，心里一阵惭愧，不仅为自己的作法，也为自己有这个想法惭愧。
细想起来，植物有植物的生长规律，不可能总是红红火火。就像写小说，必须要有开端、发展，然后才是高潮，最后还是结束。违背了自然规律，必然适得其反。植物如此，写小说如此，生活何尝不是如此？把心放平，用平常心对待一切事情，岂不善哉快哉？
最终，三角梅我没扔，我要好好养着。我喜欢三角梅的花，简单明快，耀眼而不妖冶，从它身上我看到了阳刚和君子风范。

⬒ 三角换元解题思想总结 ⬒

三角枫,盆景在秋天要怎么养护？<\/h2>

三角枫盆景

盆景资料

名 称： 三角枫盆景 风格流派： 其 它

类 别： 树木盆景

简 介

三角枫为戚树科落叶乔木，又称鸭掌树。用三角枫制作的盆景，初春嫩叶满枝，猩红诱人；入夏绿叶扶疏，潇洒灵秀；深秋黄叶满树，橙艳飘逸；隆冬叶落枝现，典雅高洁。因其诸多优点，被盆景界普遍采用。nbs

观赏应用

优点：

① 树蔸硕壮，斑驳苍古；② 枝条细密，节短遒劲；③ 叶形奇丽，红绿交替； ④ 树皮翅裂，皱褶嶙峋；⑤生长迅速，养护粗放；

养 护

制作要点：

1 采挖常规。裁截根干一次到位。予留发芽枝点。

2 地栽炼坯，浅栽高培。透水浆根。

3 前半年保湿管理，不施肥；以后逐步施肥，到大肥大水，放养。

4 第一年基本不抹芽不剪枝，第二年修剪抹芽，定干定枝，放养。

5 第二或第三年上盆，早秋早春均可。按习性养护，按需要造型。

养护要点：

1 日常保湿，生长期每月施薄肥一次。夏冬季节不施肥。

2 按需要缩剪过长枝。

3 造型上前期以拉扎为主，后期以修剪为主。

4 枝片、枝角、枝拐的修剪须认真，叶落后观察，发芽前清理。

5 炎热夏季不能暴晒。

6 生长季节严格控水，改浇水为喷水，以新叶略焉为宜，可使叶片变得细小厚实。

7 视情况2-3年换盆一次。

8 第一年嫩根发达，但细脆，怕拉怕冻。

三角枫怎样摘叶？<\/h2>

三角枫是一种观叶植物，以前作为绿化树木，景观树木比较广泛，现在很多花友也喜欢把三角枫制作成盆景，移到室内养护观赏，秋季的时候叶片非常红火，观赏性非常好。养成盆景的时候，就会需要摘叶这个操作，因为长到一定的时间叶片会非常大，影响观赏效果，那么该如何摘叶呢？简单的给大家分享一下

第一，摘叶的时间，三角枫的摘叶时间一般是6至9月，更好度的时间段是在9月秋凉的时间，这个时候的萌发力比较强，会很快长出新的叶子。长出的新叶更小，也更漂亮，观赏价值更高。

第二，摘叶的注意事项

1，摘叶的时候根据三角枫的生长状态，如果长势很好，可以一次性全部摘完，如果长势较弱，可以分2,3次摘叶，主要是为了三角枫的长新叶，以免出现损伤。

2，摘叶后的养护管理，三角枫摘叶后可以给予充足的光照，使其尽快萌发新叶。要给三角枫适当的水肥管理，每天可以浇水喷水，枝叶多喷水，保持湿润状态，促使其快速萌发新叶，施肥可以一周施肥一次，用稀薄的液体肥更好度，充足的水肥可以满足摘叶后三角枫的生长，使三角枫的生长有充足的营养物质。养护一段时间后就会有鲜嫩的新叶长出，使三角枫更加的清爽怡人，观赏性更高。

养护三角枫盆景，平时的修剪是很重要的，有些枝条长势较好，徒长的枝条会使其与其他枝条格格不入，这个时间可以修剪掉，抑制其生长，平时还要做好摘心打顶的修剪工作，维持美观的造型。

希望我的回答对您有帮助，感谢大家的阅读，喜欢养花园艺生活的亲，可以点个关注，每天为您分享养花园艺知识和技巧。

三角枫盆景,如何养？<\/h2>

三角枫盆景

盆景资料

名 称： 三角枫盆景 风格流派： 其 它

类 别： 树木盆景

简 介

三角枫为戚树科落叶乔木，又称鸭掌树。用三角枫制作的盆景，初春嫩叶满枝，猩红诱人；入夏绿叶扶疏，潇洒灵秀；深秋黄叶满树，橙艳飘逸；隆冬叶落枝现，典雅高洁。因其诸多优点，被盆景界普遍采用。nbs

观赏应用

优点：

① 树蔸硕壮，斑驳苍古；② 枝条细密，节短遒劲；③ 叶形奇丽，红绿交替； ④ 树皮翅裂，皱褶嶙峋；⑤生长迅速，养护粗放；

养 护

制作要点：

1 采挖常规。裁截根干一次到位。予留发芽枝点。

2 地栽炼坯，浅栽高培。透水浆根。

3 前半年保湿管理，不施肥；以后逐步施肥，到大肥大水，放养。

4 第一年基本不抹芽不剪枝，第二年修剪抹芽，定干定枝，放养。

5 第二或第三年上盆，早秋早春均可。按习性养护，按需要造型。

养护要点：

1 日常保湿，生长期每月施薄肥一次。夏冬季节不施肥。

2 按需要缩剪过长枝。

3 造型上前期以拉扎为主，后期以修剪为主。

4 枝片、枝角、枝拐的修剪须认真，叶落后观察，发芽前清理。

5 炎热夏季不能暴晒。

6 生长季节严格控水，改浇水为喷水，以新叶略焉为宜，可使叶片变得细小厚实。

7 视情况2-3年换盆一次。

8 第一年嫩根发达，但细脆，怕拉怕冻。

三角枫盆景如何剪枝<\/h2>

三角枫，是槭树科槭树属落叶小乔木。枝条细弱。单叶掌状浅裂。枝叶浓密秀丽，秋叶红色，观赏价值较高。三角枫是阳性植物，喜欢光照充足，稍耐阴，喜光温暖、湿润、通风良好的环境，不耐寒。适合于生长在土层深厚肥沃、腐殖质丰富的土壤上。三角枫的根系健壮发达，非常适合做提根式或附石式盆景。制作前期，要有一个长时间的蓄枝阶段，以保证枝干健壮。枝条长到40厘米长以后，就要进行蟠扎。这时候的加工技法应以扎为主，以剪为辅。三角枫的枝条比较脆硬，因此蟠扎时要小心，不要弄折枝条。当盆景基本成型以后，就要以剪为主，以保持树形。8月上旬前后，分几次摘去老叶，可使三角枫叶片变小，秋叶变红。按需要缩剪过长枝。造型上前期以拉扎为主，后期以修剪为主。 枝片、枝角、枝拐的修剪须认真，叶落后观察，发芽前清理。养粗短截,再放长养粗短截,反复几次就成精品了 ！

如何制作一盆漂亮的三角枫盆景？在制作过程中，需要注意哪些问题？<\/h2>

元宝枫的树干崎岖不平，枝条纤细，尤其是叶子形状优美，颜色随季节变化，十分诱人。初春猩红，夏绿秋色，冬枝茂盛光秃秃。从视角上的冲击美如画。

枫树因其对环境的适应性强而被广泛应用于盆景制作。随着玩胡芦巴的人越来越多，野外生长的古堆越来越难找，有条件的开始在自己的空地上播种或扦插来培育胡芦巴。从幼苗中玩耍不仅有利于环保，而且由于生长快，塑料空间大，还可以培育各种类型、不同形状的盆景。

元宝枫喜欢温暖湿润的气候和酸性中性的土壤。它是一种暖带树种，喜明暗，更耐水湿，发芽力强，耐修剪。元宝枫表面上生长快，保养好，形成快。原因是复叶槭相对于其他绒材生长较快，控制绒材的生长需要更多的时间和精力。所以培育复叶槭盆景，与其说在于精心维护，不如说在于人工控制。想要培育出一个优秀的盆栽枫树盆景，必须根据其特点精心呵护，勤于组织控制，在创作中开阔思路，在制作中一丝不苟。

枫树喜欢温暖湿润的气候和排水良好的深厚肥沃的土壤，所以对土壤没有严格的要求。为枫树的维护建立一个理想的场所是非常重要的。维护地点应位于地势相对平坦或湿度相对较高的地方。通风和日照是必须的，但要避免从西面进入。屋顶栽培葫芦，不建议在封闭的阳台上玩葫芦，可以考虑种植在稍大一点的盆里，扩大底部排水沟，种植后直接放在阳光充足的沙子里养护。湿度一方面可以避免屋顶胡芦巴脱水，另一方面湿沙可以诱导盆底“偷根”，加速胡芦巴的生长。

盆景的养护管理不限于日常浇水、施肥、病虫害防治等。对于一些盆景材料的早期选择、修剪和生根培养也很重要。

1.五角枫栽培中的材料选择。选材的目的是定向培育材料，打造不同类型的复叶槭盆景。比如复叶槭幼苗的根在种植前进行筛选，一年生根的特征基本显露出来，根系均匀、根形态良好的幼苗作为大树、丛林等盆景类型进行培育，部分偏根、弯茎可考虑作为悬崖盆地、水边等盆景类型。总之，选材要考虑类型的多样性，适合材料，适合类型培养。

2.元宝枫栽培中的修剪。前期修剪是为了加快元宝枫的定型生长，一些影响定型生长的枝条要及时剪掉，比如大树的侧枝太粗。早期切断可以减少疤痕面，尽早纠正定型后生长方向的偏差。苗期也可以用“吊”来控制设定。比如制作悬崖盆景时的根与杆的角度，可以在苗期用铝丝吊固定。苗期不建议用铝丝扎。三角三叶草由于生长快，容易夹丝，不仅影响生长还会损伤芽尖。

3.元宝枫栽培中的根系调节。没有根是不可能做出场面的。描述根在盆景中的位置和重要性。复叶槭的栽培首先是根的栽培。但非常遗憾的是，一盆复叶槭盆景最后却出现了不可弥补的根部缺陷。元宝枫在栽培期根系生长非常突出，成苗两年后需要及时调整根系推进，尤其是对出苗要求高的大树盆景。虽然方法比较麻烦，但是为了以后的培养不留下后患还是值得的。

三角枫盆景有哪些栽培优点？<\/h2>

三角枫盆景的栽培优点：用三角枫制作的盆景，初春嫩叶满枝，猩红诱人；入夏绿叶扶疏，潇洒灵秀；深秋黄叶满树，橙艳飘逸；隆冬叶落枝现，典雅高洁。因其诸多优点，被盆景界普遍采用。

选盆要求：三角枫盆景宜用中浅的紫砂陶盆或釉陶盆，盆形以长方形或椭园形为宜，色泽可选用浅黄、淡绿或浅蓝。

材料选用：三角枫对土质要求不严，偏酸性或中性土均可。盆栽培养土可用田园拌土或腐叶土拌以适量沙土，保持一定通气性和透水性。

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