三角换元解题思想总结

三角换元解题思想总结（经典13篇）。

▰ 三角换元解题思想总结 ▰

晚秋，在明媚的小路上走着，微风轻拂着我的脸。我忽然停下了脚步。

吸引我的是一棵三角梅，厦门的市花。这棵三角梅开得真美，这儿一穗，哪儿一穗，摇头摆尾，像是在向我问好。我也不由自主地轻轻地回了一句：你好！一穗当中，由深深的盛开的红到穗端的浅浅的红蕾，仿佛淡抹了胭脂的少女。每一朵三角梅就象三颗小星星在闪烁。仔细看时，才知道那是每一朵三角梅里更小的三朵小黄花瓣，在和阳光互相嬉戏。

站在这里，放眼望去，除了这棵三角梅以外，剩下的就只有草丛了，所以这棵三角梅更是特别的显眼。盛开的三角梅，花朵儿一朵挨着一朵，在说着什么悄悄话。

三角梅都是从绿色然后慢慢变成朱红色，再由朱红色变成粉红色，多奇妙的一个过程啊！三片叶子组成了一朵三角梅，我凑上去细细地瞧。它好像一个个小小的三角风车，慢慢地转动，转动，吹走我心里的一切不愉快。

一阵风吹来，尘土飞扬，我眯起了眼睛，待我慢慢睁开眼睛时，心里不由地咯噔一下，眼前的这棵三角梅，花朵只剩寥寥无几，其它的都被吹落在地上。

没想到盛开后的三角梅，竟是如此的脆弱。抚摸着这仅剩下的几朵三角梅，我陷入了沉思

三角梅的生命虽然短暂和脆弱，但它却向人们展现了它那神奇的的变色过程和它最美丽的一面。比起三角梅来，我们的生命是不是更长久一点呢？

在这灿烂、美丽的红色中，我继续向前走着，我要去把我认为最美好的东西来展示给人们，展示给世界！

▰ 三角换元解题思想总结 ▰

可真让人捉摸不透啊！一根绳子，两头系起。这根普普通通的绳子究竟会给我们带来怎样的乐趣呢？老师这次可是给我们出了一个大难题啊！同学们的答案五花八门，但却没有一个猜中的，真是伤脑筋啊！

老师首先选了三位女生，上台示范，让我们更好的熟悉游戏规则。老师先让她们用绳子围一个正三角形，等她们确定好位置之后，老师用红领巾依次蒙住她们的眼睛，然后双手抱肩，原地转三圈，然后开始围三角形，可能是因为第一个上台没有经验，她们三个并没有达到老师的要求——围成一个正三角形，反而更像一个等腰三角形。

熟悉规则后的同学们，踊跃的举手，可老师没有叫那些举手的同学，而是叫了三个以前在课堂上举手发言不算积极的三个男生上了台。这次老师提升了难度，必须有一点在正北方，并且一上台就要蒙上眼睛。这次提升了难度后，我们都替他们捏了把汗啊!但他们三个不负众望，在一次次调整，一次次测量之后，围成了一个非常非常标准的正三角形，连老师也赞不绝口。

这次的作文课，让我们深切的体会到了团结、合作的重要性！

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三角龙湾山清水秀，四季特征明显，早晚风光各异，十分迷人。其是国家AA级景点级别，位于吉林省通化市辉南县东南部。坐落于辉南县内海拔833米的山上，水面面积50公顷，湖中最大水深104米，蓄水量达1000万立方米，水位稳定，是距今20万年前的一次火山喷发后形成的.火山湖。

旅游攻略

1

交通

三角龙湾景区，旅游公路已铺设完成，旅游专线已开通，铁路沈吉线经过辉南县城朝阳镇，距景区67公里，每日都有旅游专线通往景区。

2

门票

三角龙湾50元 吊水湖50元 大龙湾35元 套票135元 三角龙湾游船30元 大龙湾游船30元。

3

开放时间

8：00-18：00。

4

地址

吉林省通化市辉南县东南部。

5

最佳旅游时节

7-9月。

景点介绍

三角龙湾又名黑龙潭，位于辉南城朝阳镇东南45公里处的高山密林之中。系古代火山喷发口积水而成，因水面呈三角形，加之湖南侧矗立着30米高的三角石，故名“三角龙湾”。

大龙湾的特点是湖面开阔，湖景多变，别有天地。它在6个龙湾中面积最大，由于南侧湖面被溶岩冲塌，使湖面曲折，形成东西两个袖湾和秀湖。如果说大龙湾是开阔与神秘交融，那么东龙湾则是幽静与险峻相伴。这是尚未开发的处女湖，它静静地卧在起伏的群山中，这是古木参天，莽草无崖，礁古林立，只有空山野水，可闻鸟语泉声。一切都是那样原始，那样古朴，那样自然，给人第一感觉是幽静和安详。当你走近它时，就会强烈地感到它是那样的险峻和奇奥。

东龙湾属于强烈暴发性层状火山湖，面积为0.4平方公里，水最深处122米，仅次于长白山天池。沿它西行至8公里，小巧玲珑的南龙湾展现丰面前。

南龙湾呈瓶状，东西延伸，湖面约0.2平方公里。在青山映衬下，一池湖水碧波荡漾，景色十分典雅，撩人心扉，楚楚动人。

二龙湾和小龙湾地处小形盆地，小龙湾居西，二龙湾居东，中间有条小河穿过，站在附近的金龙顶子俯视，尤如一个大自然的艺术盆景。由于两湖处在高山沟谷间，湿气蒸郁不散，白云水雾经常飘荡于峰顶山腰，给人一种云雾迷离的神奇色彩。

龙湾千生秀，林木百里深。龙湾不仅是个风光胜地，而且还是个宝贵的资源王国。这里植被种类丰富，森林茂密，有500多种野生植物。人参、天麻、党参等珍贵药用植物居多，猕猴桃、山葡萄贮量很大，蕨菜、元蘑、榆黄蘑、刺嫩等山珍资源丰富。有56种野生动物在这里繁衍生息。野兔、狐狸、狍子经常出没山林，飞龙、野鸡栖息林间，蟾蜍、田鸡在溪流沟谷间随处可见，人工驯养的梅药鹿数达千只。

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花园里百花盛开，有散发着清香的莲花，艳丽的玫瑰，拥有金黄色小裙子的菊花，远看像一只只蝴蝶的蝴蝶花，各种各样的花数不清，但我最喜欢的要数远看像一团团火焰的三角梅。

远远望去，三角梅一簇又一簇地长在草丛中，好似一团团火焰，它又很像风铃，风一吹就

沙沙地响，像在向来花园玩的人打招呼呢。三角梅整体由茎、叶、花三个部分组成。茎是最主要的一部分，它的茎很直，主茎上还有小刺，这些刺像老虎的牙一样尖利，如果不小心被扎到了，就马上会流血。嘿！它的叶子很有特色呢！叶子的形状偏椭圆形，尾端尖尖的，但很软，软的像纸一样。花的颜色各异：粉色、紫色、白色是不是春姑娘把颜料盒打翻了，颜料洒在了三角梅的花丛中，把它染成了五彩缤纷的颜色呢？三角梅还有个称号花中之花，这个称号并不是假的，你仔细看，花里面又包着几朵花，那就是花蕊，花蕊宝宝坐在自己的小花床上向外张望，哗啦啦，下雨了，花蕊宝宝撑开了白色的小花伞，多可爱。看着这盆花，我仿佛听到鲜艳的花儿对我说：快来闻闻我呀！我忍不住凑上去闻了闻，啊！一股淡淡的草木味浸润了我的整个身子，让我更加喜欢三角梅了。

去年冬天，我们开车到环岛路上看，一看百花凋谢，只有三角梅依旧挺着身子，低头不弯腰这句话正好和三角梅相匹配，三角梅不但有美丽的外形，还有顽强的生命力值得我们学习！

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Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中

Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a

cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]

cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)2,第二个除(cosα)2即可

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0以及

sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。例如求导公式有18个，就可以分成四组来记：(1)常数与幂函数的导数(2个);(2)指数与对数函数的导数(4个);(3)三角函数的导数(6个);(4)反三角函数的导数(6个)。求导法则有7个，可分为两组来记：(1)和、差、积、商复合函数的导数(4个);(2)反函数、隐函数、幂指数函数的导数(3个)。

许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知识，只需记忆一个，而其余可利用推理得到，这种记忆称为推理记忆。例如，平行四边形的性质，我们只要记住它的定义，由定义推理得它的任一对角线把它平分成两个全等三角形，继而又推得它的对边相等，对角相等，相邻角互补，两条对角线互相平分等性质。

在学习某一章节知识时，先看一遍，对于重要部分用彩笔在下面画上波浪线，再记忆时，就不需要将整个章节的内容从头到尾逐字逐句的看了，只要看划重点的地方并在它的启示下就能记住本章节主要内容，这种记忆称为标志记忆。

在重复记忆某一章节的知识时，不看具体内容，而是通过大脑回想达到重复记忆的目的，这种记忆称为回想记忆。在实际记忆时，回想记忆法与标志记忆法是配合使用的。

初次学习和再次复习不同。绝大部分考生在高一高二两年的时间中进行的都是新知识新理论的学习，这是初次认识初次接触的过程，我们称之为初次学习，这个过程强调的是认知、接受和掌握。而高三将近一年的时间考生几乎接触的都是之前两年当中见过的理解了的但是很多已经遗忘的内容，我们将这个过程称之为再次复习。再次复习除了恢复考生对相应知识点的记忆之外，更重要的在于将知识点升华为考点，这个过程重视的是理解、综合与应用。两个过程截然不同，必然导致我们应对的策略也要有所变化。

学习和复习的主线不同。学习的主线我们应该都很熟悉，看一看教材的目录就非常明确了：高一高二两年当中一定是以章节为单位，一个知识点接一个知识点按部就班地介绍和学习。每个章节内部也是基本遵循“定义—定理—公式—经典例题—实际应用—练习”这样由简到繁的内容安排。而二次复习如果也采用这样的模式，导致的直接结果就是，考生按知识点分块的模式分章节去解题会很顺利，一旦拿过来一份高考试卷，遇到里面的综合性题目却无从下手，这就是平时考生经常遇到的问题——没有解题思路。

最有效的复习模式——以题型为主线。结合以上讨论的两点内容，建议考生在复习过程中尤其是最后一轮复习中一定要以当地高考常考题型为主线，以题型为主线逐步建立自己在考试当中的解题思路。以题型为主线的复习方式有以下三点优势：

第一，可以将零散的知识点从题型的角度进行二次深入的梳理，把知识认知阶段进化为知识应用阶段，达到高考要求。

第二，题型为主线可以简化思维过程，头脑中不再是孤零零的点，而是形成模块化的解题套路。

第三，掌握相应知识的常考题型比起简单掌握知识点能够更快更大幅度地在考试中提高分数。很多考生溺死在浩如烟海的知识点当中，尽管花了相当多的时间和精力，但是收效甚微，甚至由此认为高中数学很难学。如果能够转变一下复习思路，相信一定可以柳暗花明。

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8字形结三角围巾的系法图解：系法很简单，只是系个简单的平结，因为以8字形套在脖子上，所以看起来觉得造型比较复杂，系好的披肩会在胸前留下层次丰富的披肩褶，能给人留下深刻印象.

肩褶结三角围巾的系法图解：长方形的固定造型，特点是实用，保暖，同色系的披肩与衣服搭配起来比较容易，看起来时尚高雅，披肩的围法十分简单，质地很厚的披肩也适合此款。

双层颈后结三角围巾的系法图解：造型自然、流畅、时尚，因为披肩结系在身后，所以从后面看起来背影同样靓丽动人。与小巧的套装搭配在一起，十分协调。

三角围巾的系法图解会让你更迷人漂亮。相信每个爱美的女性都有自己钟爱的一条围巾或者披肩，要是觉得传统戴法太老气，千篇一律，没什么新意，不妨看看这几种三角形长围巾的系法图解和要注意的一些生活小常识，希望能够为您扮靓加分！

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当你走进我们的校园，首先映入你眼帘的一定是教学楼走廊上的三角梅。

那三角梅的树枝枯黄看不出一点春色，可你往上看！三角梅开得多旺呀！一簇簇，一丛丛，五颜六色，有粉红色的，有桃红色的，还有紫色的，远远看去，像一团团美丽彩云，这一团，那一朵，放眼望去都是彩云。我仿佛来到了人间仙境，彩云把校园装扮得很美，整个校园充满了生机。

走近一瞧，哇！三角梅好美呀！三片嫩嫩的、薄薄的花瓣拢在一起，像三个花枝招展的小仙女，沙沙沙一阵清爽的春风吹来，小仙女们跳起了欢快的舞蹈。中间三根淡黄色的花蕊，就像三位高贵的公主，跳着优美的华尔慈。

三角梅虽然没有花蜜，但常常引来许多美丽的花蝴蝶，它们围着三角梅飞舞，有的还停在三角梅的花瓣上，和着优雅的公主谈心，又好像在吸吮着三角梅的精华，也想变得像它们那么美！

三角梅的那根树干那么苍老，却能开出如此美丽的花朵，十分神奇。我想一定是树干把营养都给了三角梅，它才那么美，它多像我们的老师，把知识都传授给我们，希望我么好好学习，天天向上，长大后做祖国的栋梁。

三角梅虽然没有杜鹃花的艳丽；没有玫瑰花的高贵；也没有茉莉花的芳香，但它在我眼里是最美的花！

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有一天，妈妈买了两枝九重葛，一枝是红花，一枝是紫花。

当我们把九重葛搬到阳台上时，我们不小心伤了红色九重葛的根。过了几天，它的叶子都没了，我们都以为它“死了”。但半个月后，我惊喜地看到它长出了嫩嫩的新叶。紫色的九重葛长得非常茂盛。三角梅的叶子上有一些细毛，感觉很舒服。风一吹，树叶欢快地飞舞。

我觉得九重葛的名字很好。我观察了他们，发现他们真的只有三个分支。有一次，突然觉得手指被针刺到了。看到的时候手指在流血。我想：你是不是突然摸到针了？我环顾四周，看到布干维尔的树枝上有一些锋利的刺。原来这些家伙捅了我。

我家对面家也有九重葛，已经开花了。这些花是紫色的，非常漂亮。我希望我的三角梅开得漂亮。

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一、教学内容

本节主要内容为：经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算。

二、教学目标

1、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义。

2、能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算。

3、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小。

三、过程与方法

通过进行有关推理，探索30°、45°、60°角的三角函数值。在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．

四、教学重点和难点

重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算

难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值

五、教学准备

教师准备

预先准备教材、教参以及多媒体课件

学生准备

教材、同步练习册、作业本、草稿纸、作图工具等

六、教学步骤

教学流程设计

教师指导学生活动

1.新章节开场白. 1.进入学习状态.

2.进行教学. 2.配合学习.

3.总结和指导学生练习. 3记录相关内容,完成练习.

教学过程设计

1、从学生原有的认知结构提出问题

2、师生共同研究形成概念

3、随堂练习

4、小结

5、作业

板书设计

1、叙述三角函数的意义

2、30°、45°、60°角的三角函数值

3、例题

七、课后反思

本节课基本上能够突出重点、弱化难点，在时间上也能掌控得比较合理，学生也比较积极投入学习中，但是学生好像并不是掌握得很好，在今后的教学中应该再加强关于这方面的学习。

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在我奶奶的阳台上有许多漂亮的花，我今天要讲的花叫“三角梅”。三角梅这种花，喜欢在阳光灿烂的地方生长。

因为这样会长的更好一些。奇怪的是，这种花只长三片花瓣。花蕊也只有三个。花瓣是粉红色的，花瓣还特别柔软。有的在阳光的照耀下，还能看出花纹呢！花的形状和叶子的形状差不多，像红色的心形扇子。

叶子在阳光的照耀下，也能看出叶脉。叶子是绿的，但刚长出的是嫩绿色的，摸上去像绒布一样柔软，不过叶子长得有点稀少。非常柔软，就像绕下架的一根根线绳，是嫩绿色的。枝上有很多小刺，而且还是倒刺，扎到手以后可很难拔出来哦！从远处看，这棵三角梅就像一棵造型别致的树，树上稀稀拉拉的绿叶藏着许多粉色的星星。我经常认真地去观察，想要发现它更多的秘密。

我喜欢三角梅。

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春游三角公园

盼着盼着，春天终于来了，万物复苏，百花齐放，在这大好的季节里，妈妈带着我和表妹去家附近的三角公园游玩。

刚一走进三角公园，满眼的赤橙黄绿青蓝紫，就好像老天爷打翻了颜料瓶，把人间打扮的绚丽多彩。

我抬眼望去，山腰上开满了一大片的桃花，就像一片云霞落到了山坡上。于是，我和妹妹瞬间决定要去爬山，到那片“云霞”中去。

一路上，我们走走跳跳，欣赏着美丽的景色。迎春花紧紧吸引了我们的眼球，我们不知不觉地停下了脚步，仔细观赏着迎春花，我发现这里的迎春花和我们学校的迎春花不一样，学校的迎春花是往下垂的。这里的迎春花是往上长的。大概是地点不一样的原因吧，那数不清的小黄花就像天上的星星落了下来，那金黄的颜色，明亮的'照耀着我们的眼睛。似乎每一朵小花上都有一个新的生命在颤动，这美丽的迎春花。

我们继续向山顶进发，我们从山的背面爬了上去，一路上非常艰难，我是手脚并用爬的，妹妹干脆趴到土地上匍匐前进，终于爬上了山顶。满眼的桃花在微风中散发着阵阵清香，沁人心脾、令人陶醉，刚才的劳累一扫而光。这些桃花开得重重叠叠，一蔟堆在另一蔟上，置身其中有一种飘飘欲仙的感觉。

“春面不寒杨柳风”，是呀。举目远眺，远处的柳树垂下来柔嫩如丝的柳条，在春风吹动下，它轻柔盈美的身姿为三角公园增添了许多生机。看着看着，我仿佛也变成了一棵小柳树，正在茁壮的成长。

我爱三角公园的景色，更爱它那无限的生机。我还常常来欣赏它的美。

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三角函数线及其应用

教学目标

1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题． 2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力． 3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性． 教学重点与难点

三角函数线的作法与应用． 教学过程设计

一、复习

师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？

生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是（教师板书）

师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？

生：由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第一、二象限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符号由x决定，所以当α是第一、四象限角时，cosα＞0，secα＞0；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正；当x，y异号时，tanα，cotα为负．也就是说当α是第一、三象限角时，tanα＞0，cotα＞0；当α是第二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0．

师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？

生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关． 师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．

二、新课

师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 师：那么对于余弦又该怎么处理呢？ 生：还是取r=1．

师：如果r=1，那么P点在什么位置？

生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．

师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆．（板书）1．单位圆

师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．

师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？

（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）

师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．

师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？

生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数． 师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？

生：是不是能用线段的长度来表示？ 师：说说你的理由．

生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式． 师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？ 生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．

师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？

生：线段的长度没有负数．

生：我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．

（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）

师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！

生：可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．

师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？（板书）2．有向线段

师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．

师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？

生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜． 师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看．

生：如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．

（图中的线段随教学过程逐渐添加．）

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα．

师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sinα是负值．

生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y．

师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我们把有向线段MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．（板书）

3．三角函数线

（1）正弦线——MP 师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？

生：当角α的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；当α终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致． 师：现在来找余弦线．

生：因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了．过P点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cosα，NP是余弦线． 师：具体地分析一下，为什么NP=cosα？

生：当α是第一、四象限角时，cosα＞0，NP的方向与x轴正方向一致，也是正的，长度为x，有cosα=NP；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，NP也是负的，也有cosα=NP． 师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法，其他同学有没有别的想法？

生：其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线．

师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？ 生：OM．（板书）

（2）余弦线——OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定．）

师：我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？

生：肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生．）

坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值． 师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？ 生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上． 生：这条直线正好是圆的切线．（在图3-（1）中作出这条切线，令点（1，0）为A．）师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线．

生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线．

师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是α的终边上没有横坐标为1的点．

生：可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tanα．

师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？

生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找．

师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第二、三象限的角．（如果学生答不出来，由教师讲授即可．）师（或生）：象限角α的终边如果和过A点的切线不相交，那么它的反向延长线一定能和这条切线相交．因为△OMP∽△OAT，OM与MP同号时，OA与AT也同号；OM与MP异号时，OA与AT也异号，（板书）

（3）正切线——AT 师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有．

生：当角α终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的． 师：可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法．

设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题．（板书）

4．三角函数线的应用

例1 比较下列各组数的大小：

分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）

（画出同一个角的两种三角函数线）． 师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．（板书）

例2 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合．

分析：

P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为

（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合三、小结及作业

单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确． 作业

（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节．

（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题． 课堂教学设计说明

关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替．

数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好．

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