等差数列方程思想总结(经典10篇)_等差数列方程思想总结

发布时间：2017-10-13

等差数列方程思想总结(经典10篇)。

✪ 等差数列方程思想总结

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

2、教学目标

根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标

a知识与技能：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

b.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深刻的理解不完全归纳法。

c.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点

重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导

②用数学思想解决实际问题

二、学情教法分析：

对于高一学生，知识经验已较为丰富，具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。学生在初中时只是简单的接触过等差数列，具体的公式还不会用，因些在公式应用上加强学生的理解

三、学法分析：

在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学过程

1.创设情景提出问题

首先要学生回忆数列的有关概念，数列的两种方法——通项公式和递推公式

✪ 等差数列方程思想总结

等差数列的教学设计

教学理念：数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。

设计思想：本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

一、教材分析：高考资源网

教学内容：

高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

教学地位：

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。高考资源网

教学重点：

理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。

教学难点：

对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

二、学习者分析：

高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

三、教学目标：高考资源网

知识目标：

理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。

能力目标：高考资源网

培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。

情感目标：

①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。

②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。

四、教法和学法的分析：高考资源网

通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

2、在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。

五、教学媒体和教学技术的选用

多媒体计算机和几何画板

通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。

六、教学程序：

(一)设置问题，引导发现形成概念w。

师：看大屏幕。高考资源网

情景1(播放奥运会女子举重场面)

2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：

48，53，58，63

情景2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)

18，15.5，13，10.5，8，5.5

情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金 (1+利率存期)

时间年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税)

各年末本利和(单位：元)高考资源网

10072，10144，10216，10288，10360

师：思考上述各组数据反映了什么样的信息？

每行数有何共同特点？请同学们互相讨论。

(学生纷纷议论，有的几个人在一起商量)高考资源网

(从宏观上：情景1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识；情景3 倡导节约意识，纳税意识。)

从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。

48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 师：(启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？

学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。

师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？

学生1：不一样，要加上同一个常数。

学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？

学生2：不一样，必须从第二项开始。

学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

(教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：

= 1 gb3 ① 同一个常数； = 2 gb3 ② 从第二项起)

师：能不能用数学语言表示？

学生4：

师：等价吗？

学生4：应加上(d是常数)， .

(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)

师：对式子进行变形可得。

这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？

学生5：某剧场前8排的座位数分别是

52，50，48，46，44，42，40，38.

学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是

21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25

学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。

师：如何用数列表示？

学生8：设相邻两盏之间的距离为a，该数列为

a，a，a，a，……，为常数列，即常数列都具有这种特征。

(让学生举例，加深感性认识)

师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？

学生(共同)：等差数列。

师：(学生叙述，板书定义)高考资源网

一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。

提出课题《等差数列》

对定义进行分析，强调： = 1 gb3 ① 同一个常数； = 2 gb3 ② 从第二项起。注意对概念严谨性的分析。

师：回到表格中，分别说出它们的公差。

学生9：依次是d=7，d=1，d=8，d=-6，d=5，d=-2.5，d=72.

师：在计算年末本利和的问题中求时，能不能不按本利和=本金 (1+利率存期)

求而按数列的特征求呢？

学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。

(再提出问题，引导发现求通项公式的必要性)

(二)启发、引导推出等差数列的通项公式

师：把问题推广到一般情况。若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么？高考资源网

启发学生：(归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。

学生10：即：

即：

由此可得：

师：从第几项开始归纳的？

学生10：第二项，所以n≥2。

师：n=1时呢？

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。

2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题。

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

一、复习引入：（课件第一页）

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

（课件第二页）

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{ }，若－ =d （与n无关的数或字母），n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。

2．等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：（课件第二页）第二通项公式（课件第二页）

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项（课本p111） ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

例2 在等差数列中，已知，，求，，

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。

小结：

①这就是第二通项公式的变形，

②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。（课本p112例3）

例5 已知数列{ }的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4）

分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

注：

①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差，直线在y轴上的截距为q.

③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q （p、q是常数）。称其为第3通项公式

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

例6.成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数。

四、练习：

1、（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项。

（2）求等差数列10，8，6，……的第20项。

（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

（4）－20是不是等差数列0，－3 ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

2、在等差数列{ }中，

（1）已知 =10, =19,求与d;

五、课后作业：

习题3.2 1（2），（4） 2.（2）， 3， 4， 5， 6 。 8. 9.

一、知识与技能

1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；

2、正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。

二、过程与方法

1、通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力；

2、通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性。

三、情感态度与价值观

通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。

教学过程

导入新课

师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法。这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些数列的例子：（课本p41页的4个例子）

(1)0，5，10，15，20，25，…；

(2)48，53，58，63，…；

(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…；

(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…。

请你们来写出上述四个数列的第7项。

生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510。

师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢？以第二个数列为例来说一说。

生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78。

师：说得很有道理！我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征。

生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数。

师：作差是否有顺序，谁与谁相减？

生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒。

师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列。

这就是我们这节课要研究的内容。

推进新课

等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

（2）对于数列{an}，若an-a n-1=d（与n无关的数或字母），n≥2，n∈n*，则此数列是等差数列，d叫做公差。

师：定义中的关键字是什么？（学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环。因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力）

生：从“第二项起”和“同一个常数”。

师：：很好！

师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，…。

师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考。

［合作探究］

等差数列的通项公式

师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么？

生：a2-a1=d,即a2=a1+d.

师：对，继续说下去！

生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;

a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;

……

师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的。通项公式吗？

生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.

师：很好！这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了。需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗？

生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用。证明过程是这样的：

因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…，an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.

师：太好了！真是活学活用啊！这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了。

［教师：精讲］

由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d,

即a1=am-(m-1)d.

则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.（这是变通的通项公式）

由此我们还可以得到。

［例题剖析］

?例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项；

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

师：这个等差数列的首项和公差分别是什么？你能求出它的第20项吗？

生：1这题太简单了！首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

师：好！下面我们来看看第（2）小题怎么做。

生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1)。

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立，解之，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程（独立的量有三个）。

说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题。这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立。

?例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

例题分析：

师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么？

生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数。

师：说得对，请你来求解。

生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕

an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数，

所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.

师：这里要重点说明的是：

（1）若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…。

（2）若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.

（3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数），称其为第3通项公式。课堂练习

（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项。

分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙。

解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+（n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈n*）。∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.

评述：关键是求出通项公式。

（2）求等差数列10，8，6，…的第20项。

解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.

所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.

评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性。

(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。

分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数。

解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5.

令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项。

(4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。

解：由题意可知a1=0，，因而此数列的通项公式为。

令，解得。因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项。

课堂小结

师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？（让学生：反思、归纳、总结，这样来培养学生：的概括能力、表达能力）

生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2)；其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1)。

?教学目标】

1．知识与技能

（1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：

（2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：

（3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。

2、过程与方法

在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。

3、情感、态度与价值观

通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。

?教学重点】

①等差数列的概念；

②等差数列的通项公式

?教学难点】

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；

②等差数列的通项公式的推导过程．

?学情分析】

我所教学的学生是我校高一（7）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．

?设计思路】

1．教法

①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法

引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

【教学过程】

一：创设情境，引入新课

1．从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？

2．水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？

3．我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。活期存入10 000元钱，年利率是0．72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列？

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数．

学生：

1：0，5，10，15，20，25，…．

2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．

3:10072，10144，10216，10288，10360.

（设置意图：从实例引入，实质是给出了等差数列的现实背景，目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型。通过分析，由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力。

二：观察归纳，形成定义

①0，5，10，15，20，25，…．

②18，15．5，13，10．5，8，5．5．

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述数列有什么共同特点？

思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？

思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？

教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念。

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义。

（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达。）

三：举一反三，巩固定义

1、判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差d。

(1)1，1，1，1，1;

(2)1，0，1，0，1;

(3)2，1，0，-1，-2;

(4)4，7，10，13，16.

教师出示题目，学生思考回答．教师订正并强调求公差应注意的问题。

注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 。

（设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）。

2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？

（设计意图：强化等差数列的证明定义法）

四：利用定义，导出通项

1、已知等差数列：8，5，2，…，求第200项？

2、已知一个等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？

教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示。根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法。

（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力。学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识。鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）

五：应用通项，解决问题

1判断100是不是等差数列2， 9，16，…的项？如果是，是第几项？

2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an。

3求等差数列 3，7，11，…的第4项和第10项

教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况。

学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

（设计意图：主要是熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系。初步认识“基本量法”求解等差数列问题。）

六：反馈练习：教材13页练习1

七：归纳总结：

1、一个定义：

等差数列的定义及定义表达式

2、一个公式：

等差数列的通项公式

3、二个应用：

定义和通项公式的应用

教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充

（设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念。）

【设计反思】

本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣。在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。

✪ 等差数列方程思想总结

一、教材分析

地位和作用

数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的属性模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列。

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：

1、从特殊到一般的研究方法；

2、倒叙相加求和。不仅得出来等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列的前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其他内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、目标分析

（一）、教学目标

1、知识与技能

掌握等差数列的前n项和公式，能较熟练应用等差数列的前n项和公式求和。

2、过程与方法

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3、情感、态度与价值观

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（二）、教学重点、难点

1、重点：等差数列的前n项和公式。

2、难点：获得等差数列的前n项和公式推导的思路。

三、教法学法分析

（一）、教法

教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介绍“倒叙相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。

（二）、学法

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

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四、教学过程分析

（一）、教学过程设计

1、问题呈现阶段

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成共有100层。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计意图：

（1）、源于历史，富有人文气息。

（2）、承上启下，探讨高斯算法。

2、探究发现阶段

（1）、学生叙述高斯首尾配对的方法（学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。）

（2）、为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面的问题。

问题1：图案中，第1层到第21层共有多少颗宝石？（这是奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要把中间项11看成是首、尾两项1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇数、偶数个项的情况求和。

（3）、进而提出有无简单的方法。

借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。

获得算法：S21=

设计意图：

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

问题2：求1到n的正整数之和。即Sn=1+2+3+…+n

∵Sn=n+（n—1）+（n—2）+…+1

∴2Sn=（n+1）+（n+1）+…。+（n+1）

Sn=（从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“倒叙相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进）

由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程：

∵Sn=an+an—1+an—2+…a1，

∴Sn=。

图形直观

等差数列的性质（如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq。）

设计意图：

一言以蔽之，数学教学应努力做到：以简驭繁，平实近人，退朴归真，循循善诱，引人入胜。

3、公式应用阶段

（1）、选用公式

公式1Sn=；

公式2Sn=na1+。

（2）、变用公式

（3）、知三求二

例1

某长跑运动员7天里每天的训练量如下7500m，8000m，8500m，9000m，9500m，10000m，10500m。这位长跑运动员7天共跑了多少米？（本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。）

例2

等差数列—10，—6，—2，2，…的前多少项和为54？（本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。

事实上，在两个求和公式中包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。）

变式练习：在等差数列{an}中，a1=20，an=54，Sn=999，求n。

知三求二：

例3

在等差数列{an}中，已知d=20，n=37，Sn=629，求a1及an。（本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。

事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，连列方程组，就可以求出其余两个。）

4、当堂训练，巩固深化。

通过学生的主体性参与，使学生深刻体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化。

采用课后习题1，2，3。

5、小结归纳，回顾反思。

小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面进行总结。

（1）、课堂小结

①、回顾从特殊到一般的研究方法；

②、体会等差数列的基本元素的表示方法，倒叙相加的算法，以及数形结合的数学思想。

③、掌握等差数列的两个球和公式及简单应用

（2）、反思

我设计了三个问题

①、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

②、通过本节课的学习，你最大的体验是什么？

③、通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？

（二）、作业设计

作业分为必做题和选做题，必做题是对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生的自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

我设计了以下作业：

1、必做题：课本p118，练习1，2，3；

习题3第2题（3，4）。

2、选做题：

在等差数列中，

（1）、已知a2+a5+a12+a15=36，求是S16。

（2）、已知a6=20，求s11。

（三）、板书设计

板书要基本体现课堂的内容和方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互关系：能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。

五、评价分析

学生学习的结果评价固然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用了及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能力是否得到发展，通过巩固练习考查学生对本节是否有一个完整的集训，并进行及时的调整和补充。

✪ 等差数列方程思想总结

末项=首项+(项数-1)×公差;

项数=(末项-首项)÷公差+1;

首项=末项-(项数-1)×公差;

和=(首项+末项)×项数÷2;

末项：最后一位数;

首项：第一位数;

项数：一共有几位数;

和：求一共数的总和;

在通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0.

在等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}.

如m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p).

证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p.

看完上面文章所介绍的等差数列求和公式内容之后，不知道大家看不看的懂这些知识，如果你还有不明白的地方的话，那就找老师来请教一下吧。

✪ 等差数列方程思想总结

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

一、片头

（30秒以内）

前面学习了数列的概念与简单表示法，今天我们来学习一种特殊的数列－等差数列。本节微课重点讲解等差数列的定义，并且能初步判断一个数列是否是等差数列。

30秒以内

二、正文讲解（8分钟左右）

第一部分内容：由三个问题，通过判断分析总结出等差数列的定义60秒

第二部分内容：给出等差数列的定义及其数学表达式50秒

三、结尾

（30秒以内）授课完毕，谢谢聆听！30秒以内

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会判断一个数列是否是等差数列，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程。

读书破万卷下笔如有神，以上就是为大家带来的4篇《高中数学数列教案：等差数列》，希望可以对您的写作有一定的参考作用，更多精彩的范文样本、模板格式尽在。

✪ 等差数列方程思想总结

教学目标

1。通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

2。利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

3。通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣。

教学重点，难点

教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．

教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑。

教学方法

研探式。

教学过程

一。复习提问

前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？

等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用。

二。主体设计

通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）。找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差，求。”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上。

1。方程思想的运用

（1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项。

（2）已知等差数列中，首项，则公差

（3）已知等差数列中，公差，则首项

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量。

2。基本量方法的使用

（1）已知等差数列中，，求的值。

（2）已知等差数列中，，求。

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题。解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的`二元方程组，以求得和，和称作基本量。

教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）。

如：已知等差数列中， …

由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

（3）已知等差数列中，求；；；；…。

类似的还有

（4）已知等差数列中，求的值。

以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出

3。研究等差数列的单调性

，考察随项数的变化规律。着重考虑的情况。此时是的一次函数，其单调性取决于的符号，由学生叙述结果。这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的。

4。研究项的符号

这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作。可配备的题目如

（1）已知数列的通项公式为，问数列从第几项开始小于0？

（2）等差数列从第________项起以后每项均为负数。

三。小结

1。用方程思想认识等差数列通项公式；

2。用函数思想解决等差数列问题。

四。板书设计

等差数列通项公式

1。方程思想的运用

2。基本量方法的使用

3。研究等差数列的单调性

4。研究项的符号

✪ 等差数列方程思想总结

掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题.

1、通项公式与前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题.方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法.

2、判断一个数列是等差数列或等比数列，常用的方法使用定义.特别地，在判断三个实数

3、在求等差数列前n项和的(小)值时，常用函数的思想和方法加以解决.

✪ 等差数列方程思想总结

　公式法

an=a1+(n-1)d。

前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2。

若公差d=1时：Sn=(a1+an)n/2；

若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq；

若m+n=2p则：am+an=2ap。

以上n均为正整数。

倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)。

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an。

Sn =an+ an-1+an-2...... +a1。

上下相加得Sn=(a1+an)n/2。

分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和；

Sn=a1+a2+...+an

=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1

=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)

=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2

=2n+1+n(n-1)/2-2

✪ 等差数列方程思想总结

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……(2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意：

以上整数。

等差数列求和：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2.

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。